Κεφάλαιο 1.2 - 1.2.2 Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (βάση=10)

1.2.2 Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (βάση=10)

---

Το πρώτο θεσιακό σύστημα αρίθμησης που θα συζητήσουμε σε αυτό το κεφάλαιο είναι το δεκαδικό.

Αυτό περιλαμβάνει τα ψηφία από 0 έως 9 και έχει σαν βάση του (base, radix) τον αριθμό 10. Το ίδιο ισχύει, όπως θα διαπιστώσουμε παρακάτω, για όλα τα αριθμητικά συστήματα ανεξάρτητα από τη βάση που αυτά έχουν ορισθεί. Μερικά συστήματα που θα δούμε είναι:

• Το δυαδικό σύστημα έχει βάση το 2 και για την αναπαράσταση των αριθμών χρησιμοποιούνται τα δύο ψηφία 0 και 1.
• Το οκταδικό σύστημα έχει βάση το 8 και για την αναπαράσταση των αριθμών χρησιμοποιούνται τα οκτώ ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7.
• Το δεκαεξαδικό σύστημα έχει βάση το 16 και για την αναπαράσταση των αριθμών χρησιμοποιούνται τα δεκαέξι ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E και F. Εδώ παρατηρούμε ότι αν η βάση του συστήματος είναι μεγαλύτερη από το δέκα τότε χρησιμοποιούνται τα γράμματα Α,B,C,D,E,F για την αναπαράσταση των ψηφιών 10,11,12,13,14 και 15 του αριθμητικού συστήματος.

Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης δεν είναι το μοναδικό, όμως είναι αυτό που χρησιμοποιείται περισσότερο από τους ανθρώπους στις μέρες μας. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος μπορεί πιο εύκολα να κάνει υπολογισμούς στο δεκαδικό, δηλαδή με την χρήση δέκα αριθμητικών ψηφίων (0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9). Η επιλογή του συγκεκριμένου συστήματος έγινε εξαιτίας της αρχικής ευκολίας χρήσης των δακτύλων για απαρίθμηση. 

Η θέση των ψηφίων μέσα στον αριθμό τους δίνει και την συνολική αριθμητική τους αξία, γιατί κάθε ψηφίο πολλαπλασιάζεται με την βάση υψωμένη σε κάποια δύναμη.

Το ψηφίο το οποίο βρίσκεται στη δεξιότερη θέση του αριθμού μεταφέρει το μικρότερο βάρος και ονομάζεται λιγότερο σημαντικό ψηφίο ή λιγότερο σημαντικό bit (LSB). Αντίθετα, το ψηφίο το οποίο σημαντικότερο ψηφίο ή περισσότερο σημαντικότερο bit (MSB).

Η τάξη των ψηφίων στους ακέραιους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος  είναι (από τα δεξιά προς τα αριστερά) μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κλπ. Αυτό σημαίνει ότι κάθε φορά που μετράμε δέκα μονάδες μίας τάξης τις ομαδοποιούμε σε μία μονάδα της επόμενης τάξης. Για παράδειγμα, δέκα μονάδες ομαδοποιούνται σε μία δεκάδα, δέκα δεκάδες σε μία εκατοντάδα, δέκα εκατοντάδες σε μία βρίσκεται στην αριστερότερη θέση του αριθμού μεταφέρει το μεγαλύτερο βάρος και ονομάζεται χιλιάδα κ.ο.κ.

Παράδειγμα: ο αριθμός 252 σημαίνει 200+50+2

Κάθε ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του εκφράζει πόσα πολλαπλάσια δεκάδων έχουμε. Για τον 252 έχουμε:

• •2 μονάδες (=καμία δεκάδα)
• •5 δεκάδες (=1 δεκάδα = 10 μονάδες)
•  2 εκατοντάδες (=1 εκατοντάδα =10 δεκάδες)

Παρατηρήστε ότι το ψηφίο 2 στη θέση των μονάδων έχει την τιμή 2, ενώ το ίδιο ψηφίο στη θέση των εκατοντάδων έχει την τιμή 200.

Έτσι η αναπαράσταση του παραπάνω αριθμού μπορεί να εκφραστεί σε δυνάμεις του 10 ως:

2x 10²+ 5 x 10¹ + 2x 10⁰

Εκτός από τους ακέραιους αριθμούς, χρησιμοποιούμε και πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αριθμούς µε ακέραιο και κλασματικό μέρος (δεκαδικό μέρος).

Στο δεκαδικό σύστημα είμαστε εξοικειωμένοι με τους πραγματικούς αριθμούς και τους χρησιμοποιούμε συχνά στην καθημερινή μας ζωή. Για παράδειγμα, μ’ αυτούς αναπαριστούμε τα ευρώ και τα λεπτά του ευρώ π.χ. 25,62€.

Η παράσταση του παραδείγματος στο δεκαδικό σύστημα είναι ως εξής:

2 Χ 101 + 5 Χ 100 ,	6 Χ 10-1 + 2 Χ 10-2
Ακέραιο μέρος	Κλασματικό μέρος

 

Στο ακέραιο μέρος κάθε ψηφίο πολλαπλασιάζεται με τη βάση υψωμένη σε θετική δύναμη ξεκινώντας από το δεξιότερο ψηφίο με τη βάση υψωμένη στην μηδενική, ενώ στο κλασματικό μέρος κάθε ψηφίο πολλαπλασιάζεται με τη βάση υψωμένη σε αρνητική δύναμη(ξεκινώντας από το -1) ξεκινώντας από το αριστερότερο ψηφίο.