Κεφάλαιο 1.2 - 1.2.3 Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης (βάση=2)

1.2.3 Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης (βάση=2)

---

Το δεύτερο θεσιακό αριθμητικό σύστημα που θα δούμε σε αυτό το κεφάλαιο είναι το δυαδικό σύστημα.

Σε αυτό το σύστημα η βάση είναι το 2 και χρησιμοποιούμε μόνο δύο ψηφία, το 0 και το 1. Τα ψηφία σε αυτό το σύστημα ονομάζονται δυαδικά ψηφία ή bit. Το σύστημα αυτό χρησιμοποιείται στους υπολογιστές όπου όπως θα δούμε παρακάτω, τα δεδομένα και τα προγράμματα αποθηκεύονται σε αυτούς χρησιμοποιώντας μια σειρά από δυαδικά ψηφία (bit). Ο λόγος που επιλέχθηκε αυτό το σύστημα αρίθμησης είναι γιατί είναι απλούστερο από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και επειδή ο υπολογιστής είναι κατασκευασμένος από ηλεκτρονικούς διακόπτες που μπορούν να έχουν μόνο δύο διακριτές (μοναδικές) καταστάσεις, αν περνά ή όχι ρεύμα. Ένας άλλος λόγος που υιοθετήθηκε το δυαδικό σύστημα, είναι η ύπαρξη μιας περιοχής της μαθηματικής λογικής, που είναι γνωστή ως άλγεβρα Bool που διαπραγματεύεται ειδικά τους δυαδικούς αριθμούς και βοηθά στην απλοποίηση της διαδικασίας σχεδίασης ενός υπολογιστή.

Το στοιχειώδες κομμάτι πληροφορίας στον υπολογιστή που εκφράζει αυτές τις δύο διακριτές καταστάσεις  το ονομάζουμε δυαδικό ψηφίο (BΙnary digiT – bit) πληροφορίας. Το bit 1 αντιπροσωπεύει τη μία από αυτές τις δύο καταστάσεις και το bit 0 την άλλη.

Με τη χρήση αυτών των δυο ψηφίων είναι αδύνατο να μπορέσουμε να αναπαραστήσουμε όλα τα γράμματα, τους αριθμούς και γενικά όλα τα σύμβολα που είναι απαραίτητα για την επικοινωνία του ανθρώπου με τον υπολογιστή αλλά και των υπολογιστών μεταξύ τους. Σε ομάδες όμως περισσότερων δυαδικών ψηφίων μπορούμε να αναπαραστήσουμε ένα πλήθος από χαρακτήρες. Για να βρούμε πόσα δυαδικά ψηφία χρειαζόμαστε για την αναπαράσταση όλων των συμβόλων σκεφτόμαστε ως εξής:

Ένα δυαδικό ψηφίο μπορεί να αναπαραστήσει 2 σύμβολα. Δύο δυαδικά ψηφία μπορούν να αναπαραστήσουν 2² σύμβολα. 3 δυαδικά ψηφία μπορούν να αναπαραστήσουν 2³ σύμβολα. … ν δυαδικά ψηφία μπορούν να αναπαραστήσουν 2^ν σύμβολα.

Η τάξη των ψηφίων στους δυαδικούς ακεραίους είναι από τα δεξιά προς τα αριστερά.

Μια ομάδα αποτελούμενη από οκτώ bits ονομάζεται byte. Αφού κάθε bit μπορεί να πάρει 2 διαφορετικές τιμές (0 ή 1), κάθε byte που αποτελείται από 8 bits μπορεί πάρει 2⁸=256 διαφορετικούς συνδυασμούς δυαδικών ψηφίων.

Το byte είναι η βασική μονάδα μέτρησης της χωρητικότητας που διαχειρίζεται ένας υπολογιστής. Το byte αντιπροσωπεύει ένα χαρακτήρα, που μπορεί να είναι ένα γράμμα, ένας αριθμός ή κάποιο άλλο σύμβολο.

Τα πολλαπλάσια του byte είναι:

Kilobyte (Κιλομπάιτ),     1 kB = 1.024 bytes = 2¹⁰ bytes

Megabyte (Μεγαμπάιτ), 1 MB = 1.048.576 bytes = 1024 kilobytes = 2²⁰ bytes

Gigabyte (Γιγαμπάιτ),    1 GB = 1.073.741.824 bytes = 2³⁰ bytes

Terabyte (Τεραμπάιτ),   1 TB = 1.099.511.627.776 bytes = 2⁴⁰ bytes

Petabyte (Πεταμπάιτ),   1 PB = 1.125.899.906.842.624 bytes = 2⁵⁰ bytes

Exabyte (Εξαμπάιτ),      1 EB = 1.152.921.504.606.846.976 bytes = 2⁶⁰ bytes

Zettabyte (Ζεταμπάιτ),  1 ΖB = 1.180.591.620.717.411.303.424 bytes = 2⁷⁰ bytes

Yottabyte (Γιωταμπάιτ), 1 YB = 1.208.925.819.614.629.174.706.176 bytes = 2⁸⁰ bytes

 

Μία λέξη (word) είναι μια μεγαλύτερη ομάδα από  n bits ( το n είναι συνήθως πολλαπλάσιο του 8) και δηλώνει το μήκος των δυαδικών ψηφίων που μπορεί να διαχειριστεί η μνήμη του υπολογιστή. Το μήκος της λέξης δεν είναι ίδιο για όλους τους υπολογιστές, αλλά εξαρτάται από τον τύπο της κεντρικής μονάδας επεξεργασίας του υπολογιστή. Οι σύγχρονοι υπολογιστές έχουν μήκος λέξης 8 bytes (64 bits).

1 Byte=8 bits

word =16 bits (2 bytes)

Παράδειγμα αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης: 10111

Προσοχή! Δεν είναι ο δεκαδικός αριθμός «δέκα χιλιάδες εκατόν έντεκα». Εκφράζει μία ποσότητα χρησιμοποιώντας το αλφάβητο του δυαδικού συστήματος!

Για την αποφυγή παρερμηνειών, θα πρέπει να δηλώνουμε τη βάση του συστήματος αρίθμησης στο οποίο εκφράζεται ο αριθμός με ένα δείκτη μετά τον αριθμό, ο οποίος γράφεται μέσα σε παρενθέσεις. Όταν δεν αναγράφεται η βάση, εννοείται το 10.

Έτσι ο παραπάνω αριθμός γράφεται (10111)₂

Παράδειγμα μη έγκυρου αριθμού στο δυαδικό σύστημα: (14011)₂ . Είναι μη έγκυρος γιατί στο δυαδικό σύστημα το ψηφίο 4 δεν υπάρχει στο αλφάβητο του δυαδικού συστήματος αρίθμησης.

Για την ακολουθία ψηφίων 10111 έχουμε:

• 1 μονάδα (=καμία δυάδα)
•  1 δυάδα (1 δυάδα = 2 μονάδες)
•  1 τετράδα (=1 τετράδα =2 δυάδες)
• 0 οκτάδα (=1 οκτάδα =2 τετράδες)
• 1 δεκαεξάδα (=1δεκαεξάδα =2 οκτάδες)

Έτσι η αναπαράσταση του παραπάνω αριθμού μπορεί να εκφραστεί σε δυνάμεις του 2 ως:

1Χ2⁴ +0Χ2³+1Χ2²+1Χ2¹+1Χ2⁰